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Auteur : Benoit Virole – 2015

thèses et travaux                                                                                                                       Météorologie de l’inconscient

 

Les graphes élémentaires d’interaction

Les catastrophes élémentaires

Définition mathématique simple

Applications de la théorie des catastrophes en psychopathologie

Applications de la théorie des catastrophes en linguistique

Une lettre de René Thom

Interview sur René Thom

 

 

La théorie des catastrophes de René Thom propose une épistémologie du regard,  selon la belle expression de Krzystof Pomian,  posée sur les formes et pouvant à partir d'elles remonter jusqu'à la dynamique dont elles sont issues par déploiement.

 

Toute forme est la projection sur un espace externe d'une dynamique interne, indépendante des propriétés spécifiques  du substrat qui la compose  et de la nature des forces qui agissent sur elle. La naissance de cette idée fondamentale a été décrite par Thom dans un très beau texte sur ses rêveries d'enfant  plongé dans la contemplation des réseaux de voies de chemins de fer :

 

« J'ai certainement perdu beaucoup de temps ravi par la fascination ferroviaire ; mais, en y repensant par la suite, je ne suis pas éloigné de croire que j'ai trouvé dans cette contemplation infantile quelques-uns des ressorts les plus profonds et les plus secrets de mes intuitions de mathématicien topologue et de philosophe catastrophiste. J'y ai en tout cas trouvé cette idée essentielle : un réseau, dans sa structure "cybernétique" d'événements agissant les uns sur les autres, n'est jamais arbitraire. Il y a toujours une dynamique continue sous-jacente qui l'engendre et l'organise, faute de retrouver cette interprétation originaire, l'approche combinatoire, systémique, reste  à la surface des choses ».   René Thom 1990

 

La pensée de René Thom ouvre dans l’histoire de la connaissance humaine une lumière étonnante au-delà des modes intellectuelles  et des conceptions  disciplinaires locales. Elle est une école de la liberté de pensée. Elle comporte :

 

(1) un volet mathématique, dont l’essence minimale, pour ses applications externes aux mathématiques pures, peut être comprise à partir d’un niveau baccalauréat (fonctions, singularités, dérivées) ;

 

(2) un volet applicatif transdisciplinaire en sciences humaines (linguistique, psychologie, sociologie), en sciences de la nature (biologie, géologie…), en sciences exactes (physique…) ;

 

(3) un volet épistémologique centré sur la critique de l’apologie de la quantification et de la discrétisation au profit d’une pensée sur le continu, la prégnance, et la morphogenèse,

 

(4) un volet philosophique tendant vers une réactualisation d’Aristote.

 

  Le terme de catastrophe a deux sens : un sens commun où il désigne des changements soudains et un sens technique interne à la théorie des catastrophes. Selon ce deuxième sens, une catastrophe est la disparition d'une forme stable. Cette disparition aboutit à l'établissement d'une nouvelle forme consécutivement à une modification des forces agissantes sur le système. Une forme stable, au sens mathématique de la stabilité structurelle, est alors une forme qui ne change pas de type sous l’influence de perturbations de faible importance.

 

Considérons la bifurcation entre une entité quelconque, que nous nommerons A1, se transformant en une deuxième entité A2. Chacune de ces entités peut être actualisée, investie par différents objets. Elle peut être conçue comme un attracteur ou bien encore dans une perspective structurale comme une «identité de position» (un phonème dans un système phonétique, une position identificatoire dans une structure œdipienne, une fonction dans une structure mythique, etc.). Le problème posé est de comprendre pourquoi à certains moments ces entités bifurquent en d'autres entités. Il s'agit dans un premier temps de décrire de façon la plus simple possible les différents états du passage entre A1 et A2 en ne faisant pas l'impasse sur le moment de la bifurcation. Car ce n'est que dans notre imagination, que nous faisons l'hypothèse implicite que l'actant A1 se transforme à l'instant t en un actant A2 sans qu'il existe de moments intermédiaires. Dans la réalité physique, il ne peut exister qu'une continuité de la transformation, même si celle-ci paraît brutale à l'observateur. Il existe donc à un moment donné une coexistence interactive des deux entités. En d'autres termes, il faut répondre à la question : que se passe-t-il au moment de la bifurcation ? La théorie des catastrophes permet de faire travailler conceptuellement cette notion de frontière entre les deux entités et de rendre compte des différents états intermédiaires. 

 

La théorie des catastrophes stipule  que sous des conditions générales préétablies, la solution de complexité minimale est fournie par une catastrophe élémentaire nommée fronce et dont on repère les différents éléments de la façon suivante :  W est l'espace substrat dans lequel coexistent les éléments en  conflit A1 et A2. Dans la terminologie de la théorie des catastrophes, W est nommé espace externe ou espace de commande. Il contient les variables en coaction. Dans la fronce, ces deux dimensions (x,y) de variables n'ont pas besoin d'être identifiées a priori pour faire travailler le modèle. Ceci présente un grand intérêt dans l'analyse de problèmes où l'on est confronté à des manifestations de conflits sans savoir quels sont les éléments en présence.   On suppose que les éléments A1 et A2 sont donnés comme les minima d'une fonction potentielle. 

 

En présence d’un gradient énergétique, le système tend à prendre l’état dont l’énergie est minimale. C’est la règle de Maxwell (James Clerk Maxwell, 1875). C’est pour cela que le système ne reste pas sur la partie intermédiaire (où il existerait donc sous deux états simultanément). En présence d’un gradient énergétique, la nappe de la fronce (continue) disparaît et est remplacée par la ligne de Maxwell (discontinue). Dans le domaine des transformations d’états de l’eau sous l’effet de la chaleur, les sauts catastrophiques  (franchissement de la ligne de Maxwell) représentent alors la vaporisation et la condensation. Ce sont des transitions brusques de phase.

 

 

 

 

 

La complexité de soi Benoît Virole

 

332 pages papier ivoire,

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ISBN : 978-2-9528925-5-1

Charielleditions - France

Prix de vente 35 euros

 

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au sommet de l’évolution somato-psychique.

 

 

 

Figure 1.

La catastrophe fronce, représentée avec le cycle d’hystérésis sur la surface de réponse. En dessous est représenté le plan W de l’espace de bifurcation avec la strate de conflit Kc, entourée des deux strates de bifurcation Kb.  Le tableau indique les graphes correspondant aux différents états contrôlés par la surface de réponses et les schèmes morphodynamiques (graphes actanciels). (Reproduit du livre Sciences Cognitives et Psychanalyse, B. Virole, PUN, 1995, p.139

 

 

Météorologie de l’inconscient

 

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Espace de commande

 
Zone de Texte: Espace d’états

Surface de réponse

 

 

 

 

 


Figure 2.

Chemin potentiel sur la fronce aboutissant à un saut catastrophique

 

Un des théorèmes princeps de la théorie des catastrophes stipule que pour au  plus quatre variables de commandes (paramètres), donc les dimensions de  l'espace temps de notre réalité, il n'existe que sept sortes de catastrophes élémentaires topologiquement distinctes. En topologie, des formes qui peuvent apparaître comme très différentes sont en fait équivalentes par déformation continue. En clair, tout phénomène observable peut être rendu intelligible par les effets de dynamiques élémentaires (catastrophiques).

 

 

 

 

 

 

 

 

La surface E est la surface de réponse qui détermine les états du système. Toute combinaison de valeurs de variables de commande détermine un point de l'espace de commande. Au-dessus de ce point, les points de la surface de réponse ont des valeurs égales aux valeurs de la variable d'état z pour ces valeurs de commande. Pour certaines valeurs des variables (x,y) de l'espace de commande, la projection sur la surface de réponse est située dans une zone sans fronce. Pour d'autres valeurs, la projection est située sur la fronce. Pour ces valeurs, il y a changement catastrophique. Le pli imprimé sur la surface se termine ainsi par une fronce dont la projection horizontale est un point de rebroussement pour son contour apparent.  L'ensemble de bifurcation est l'espace d'hyperplans compris entre les deux strates de bifurcation Kb dont la traversée, par la trajectoire aboutit au changement d’état. La strate centrale Kc correspond à une ligne de conflit où les deux minima sont à la même hauteur. La théorie des catastrophes ne fait que décrire les différents chemins possibles sur la surface de réponse du système. Le choix d'un des chemins par le système ne lui appartient pas et il est nécessaire de faire appel à un méta-opérateur, une instance de sélection qui va déterminer le choix des chemins. Un cas particulier doit cependant être considéré. Un des chemins potentiels situés sur la fronce génère le phénomène d’hystérésis. Le système se détermine alors en fonction de son point de départ. En d'autres termes, les conditions actuelles qui agissent sur le système ne peuvent l'influencer et déterminer sa réponse, mais ne lui laisse que plusieurs options entre lesquelles il choisit d'après son expérience passée.

 

 

 

 

 

 

Figure 3.

Les sept types de catastrophes élémentaires

D’après Ivar Ekeland

 

La figure 3. présente les sept catastrophes élémentaires topologiquement distinctes.  Par exemple, la queue d'aronde (3) a trois dimensions de commande et une dimension d'état. Elle est donc un objet à quatre dimensions. On ne peut donc se représenter que son ensemble de bifurcation. Son ensemble de réponse n'est plus une surface, mais un volume à l'intérieur duquel on peut effectuer des coupes afin de mieux visualiser la projection sur l'ensemble de bifurcation. Il est intéressant de remarquer que ses frontières délimitent des régions qui présentent soit zéro, soit un, soit deux équilibres stables. La région intérieure aux arêtes de rebroussements en présente deux.

 

 

 

singularité

 

Graphe élémentaire

 d’interaction

 

 

Interprétation spatiale substantif

 

Interprétation temporelle (verbes)

 

Sens destructif

 

 

Sens constructif

 

Minimum simple

 

 

 

Etre Objet

 

Etre

 

Durer

 

Pli

 

 

 

Le bord le bout

 

Fin Finir

 

commencer

 

Fronce

 

 

 

 

La faille

 

Capturer casser

 

 

Engendrer unir devenir

 

Queue d’aronde

 

 

 

La fente le coin

 

Déchirer Fendre

 

Coudre

 

Papillon

 

 

 

La poche l’écaille

 

S’écailler

S’exfolier remplir poche

 

Donner recevoir

Vider poche

 

Ombilic hyperbolique

 

 

 

Le crêt de la vague

La voute

 

Briser

S’effondrer

 

Recouvrir

 

Ombilic elliptique

 

 

 

L’aiguille la pique

 

 

Piquer Pénétrer

 

Boucher

 

Ombilic parabolique

 

 

 

 

Le jet d’eau

Le champignon la bouche

Briser éjecter lancer

Percer couper pincer

prendre

Lier

Ouvrir

Fermer

 

 

René Thom – Modèles mathématiques de la morphogenèse, Christian Bourgeois, 1980. pp. 188-189

Schémas reproduits d’après Virole B., Sciences cognitives et Psychanalyse, Presses Universitaires de Nancy, 1995.

thèses et travaux

 

 

 

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 Les catastrophes élémentaires résultent du conflit entre des entités, dont la nature n'a pas à être précisée a priori. Selon Thom, elles sont à la source, moyennant leur déploiement général et leurs superpositions, de la genèse des formes du réel physique ainsi que celle des formes biologiques. Autrement dit, le conflit entre des entités quelconques peut aboutir à leur destruction, mais également à la génération dans l'espace substrat de formes analogues à celles des ensembles de réponse.

 

 En d’autres termes, un objet quel qu'il soit, soumis à des contraintes fortes qui en brisent la stabilité, subit une modification de son aspect formel.  Par exemple, un verre se brise et laisse apparaître  des lignes de brisure ;  une pièce de  tissu se plisse en créant des fronces (etc.). Toutes ces formes sont visibles dans la nature et une classification topologique permet d'en réduire la diversité à sept dynamismes qui les ont engendrés.  La dimension temporelle peut être gelée par sa projection à l'infini, ou neutralisée, par une section particulière dans l'espace de bifurcation et on peut ainsi déchiffrer des formes statiques.

 

On peut alors observer en géologie des failles ressemblant à des fronces ou des plis et faire travailler l'hypothèse que ces formes résultent de forces géophysiques dont la complexité des facteurs agissants se résume finalement à l'interaction entre deux grandes cinétiques, (attracteurs de grande dimension) dont le conflit se résout par la génération d'un pli dans l’espace substrat (les couches de terrain).   Le même raisonnement permet en hydrologie de voir des déferlements de jets ressemblant à des ombilics hyperboliques, en embryologie des mouvements d'invagination de tissus ressemblant à des superpositions de fronces (etc.).

 

 

 

 

 

 

Figure 3.

 

Morphologies physiques naissant de catastrophes élémentaires

D’après Ivar Ekeland

 

 

Les formes observées dans le réel ne sont pourtant pas strictement identiques aux catastrophes élémentaires, ni même à la superposition de plusieurs d'entre elles. Cela n'empêche pas la théorie d’être opératoire car la distance entre la forme mathématique pure de la catastrophe et la forme observée dans le réel peut être considérée comme l'expression de la résistance de l'espace substrat au déploiement de la singularité. Cette résistance constitue une image des contraintes internes au substrat et permet alors sa connaissance. Ainsi, de toutes les façons, que la forme des objets du réel soit proche des formes catastrophiques ou qu'elle en soit éloignée, la vision morphodynamique permet quand même  de faire «parler» le réel.  Par contre, la méthode ne permet aucune prévision (sauf cas particuliers où l’ensemble des facteurs est connu et quantifiable). Généralement, elle est purement qualitative et descriptive.

 

Par exemple, un arc en ciel est un pli (ensemble de bifurcation). Quand un rayon lumineux d’une seule couleur est réfracté et réfléchi dans une goutte de pluie, l’angle de déviation dépend de la position d’entrée du rayon incident dans la goutte. La lumière se concentre au voisinage de l’angle caustique. Cet angle étant constant, l’observateur voit un cercle coloré et les différentes couleurs de la lumière donnent des angles caustiques différents, d’où l’arc-en-ciel.  

 

En biologie, lorsque apparaît une frontière différenciant deux tissus, il est légitime d'y reconnaître une catastrophe de type pli. Si cette frontière se creuse d'un sillon, comme en embryologie, alors on peut y reconnaître l'expression d'une fronce. Si un tissu s'exfolie en réalisant une cloque, il s'agit de l'expression morphodynamique d'une queue d'aronde et les cils ou les excroissances pointues peuvent être déchiffrés comme des expressions d’un ombilic.

 

Toute reconnaissance d'une forme, quel que soit son substrat de déploiement, physique ou psychique, peut être alors considérée comme résultante d'une mise en comparaison avec les morphologies des ensembles catastrophiques. Si la comparaison atteste que les deux formes sont isomorphes, alors les deux formes ont bien été engendrées par le même morphodynamisme. Sur le plan méthodologique, il est alors possible de chercher à identifier les caractères les plus saillants et les plus qualitatifs de «l'apparaître morphologique» des objets concrets ou idéels et de chercher à remonter vers la dynamique interne susceptible de les engendrer

 

 

 

 

Définition mathématique simple d’une catastrophe (le pli)

 

Une catastrophe est la disparition d'un équilibre stable. Cette disparition aboutit à l'établissement d'un nouvel  équilibre consécutivement à une modification continue  des forces agissantes sur le système. Une forme stable, au sens mathématique de la stabilité structurelle, est alors une forme qui ne change pas de type sous  l'influence de perturbations de faible importance. Elle est issue du déploiement d'une fonction instable obtenue par le rajout au germe de cette fonction, de paramètres en nombre et en qualité tels qu'ils rassemblent tous les types de fonctions obtenues par la perturbation de la fonction initiale. Prenons par exemple la fonction numérique simple :

 

y = x3

 

Cette équation est celle d'une courbe que l'on peut tracer dans le plan et que l'on assimile à une forme. En associant à cette fonction, un paramètre de contrôle ux , on obtient son déploiement universel qui modifie la forme initiale :

 

y = x3 + ux

 

avec u comme paramètre externe.

 

En résolvant l'équation, on met en évidence deux solutions correspondant aux deux singularités selon les valeurs de u < ou > 0. Au voisinage de u=0   une petite modification de u  entraînera une modification qualitative de F1, la forme de la fonction. On appelle  alors points réguliers les valeurs de u  différentes de 0,  correspondantes aux formes stables de la courbe et points singuliers ou  catastrophiques les points correspondants à la valeur de u = 0. Si  on modifie légèrement la valeur catastrophique K  correspondant à u = 0 , on  déstabilise la forme F1  en la forçant à prendre l'une des deux formes  possibles F2  ou F3 . On a défini ainsi la catastrophe nommée pli dont l'espace de commande est à une dimension et l'ensemble de bifurcation est un point K. En rajoutant à cette fonction d'autres paramètres externes, on complexifie le nombre de solutions et on aboutit à un ensemble catastrophique K  qui n'est plus un point, mais  un ensemble à deux, trois, ou n  dimensions. À partir de cette modélisation, on peut rendre compte de la génération dynamique de la forme d'un objet observé en étudiant le comportement des paramètres ui . Tant que les valeurs de ces paramètres restent incluses à l'intérieur de l'ensemble catastrophique K  ou sont extérieures à lui, alors on est en présence de milieux homogènes où les valeurs des paramètres externes varient de façon continue. Par contre, lorsque les valeurs des paramètres internes ui franchissent les limites  de K   apparaissent des discontinuités dans les paramètres d'état.  Ces discontinuités sont localisées en des points précis de l'objet, en particulier sur ses contours. L'ensemble M  de ces points définit la morphologie de l'objet. Il suffit alors de remplacer la variable x par un facteur variant d'un système quel qu'il soit, et le paramètre u  par un autre facteur influençant le premier facteur, pour se rendre compte que l'on peut appliquer    une modélisation mathématique sur le comportement d'un système et  le considérer comme une évolution dynamique de formes.

 

 

 

Applications en psychopathologie (Benoît Virole) thèses et travaux

 

  1. La vie psychique résulte de l’émergence d’états mentaux à partir de la complexité des états neurophysiologiques (états des réseaux de neurones, modulations par les neuromédiateurs, mise en résonnance des colonnes corticales, etc.).

 

  1. Les états mentaux résultent de l’interaction entre des attracteurs psychiques (quelques attracteurs identifiés : attracteur autistique, attracteur schizo-paranoïde (Mélanie Klein), attracteur dépressif (Mélanie Klein), attracteur sublimatoire (objet de perspective Guy Rosolato), , attracteur interne au soi (Kohut) : soi grandiose, Imago parentale internalisée. Ces attracteurs sont des positions stables mais ils peuvent subir des bifurcations sous l’influence de facteurs internes ou externes.

 

  1. Les formes  (signifiants formels, pictogrammes originaires) apparaissant dans les rêves, dans les productions psychopathologiques, sont générées par les traces indiciaires des catastrophes de l’individuation. Cf Météorologie de l’inconscient

 

  1. Des états psychopathologiques sont asservis à des processus cycliques et de bifurcations  modélisables par la théorie des catastrophes (oscillation délire /dépression, oscillation manie / dépression.)

 

Applications en Sciences du langage thèses et travaux

 

1.      Les processus de catégorisation (phonologique et sémantique) résultent de dynamiques profondes modélisables par les catastrophes (R. Thom, J. Petitot)

2.      Les structures syntaxiques fondamentales sont des expressions directes des catastrophes élémentaires. La phrase comme drame (Lucien Tesnière).

3.      Les formes d’écritures pictogrammatiques et idéogrammatiques (Sinogrammes archaïques) révèlent les schémas actanciels des catastrophes élémentaires.

4.      Les langues des signes des sourds révèlent dans leur iconicité gestuelle les schémas actanciels et les processus dynamiques issus des catastrophes élémentaires.

5.      Le sémiotique est d’essence catastrophiste.

6.       Les bases neurocognitives des représentations mentales sont des formes actancielles issues des catastrophes élémentaires.

 

 

 

 

 

Une lettre de René Thom

 

 

 

 

 

 

 

Image

 

 

 

Références

 

Arnol’d V.I, Catastrophe Theory, Springer-Verlag, 1984.

Petitot J., article « Forme », Encyclopaedia Universalis, Paris, 1995.

Petitot J., Physique du Sens, de la théorie des singularités aux structures sémio-narratives, Editions du CNRS, 1992.

Pezard L., Nandrino J.-L., « Paradigme dynamique en psychopathologie : la Théorie du chaos, de la physique à la psychiatrie », L’Encéphale, 2001, XXVII : 260-8.

Thom R ., Modèles mathématiques de la morphogenèse, 1966,  Christian Bourgeois éditeurs, 1980.

Thom R.,  Stabilité structurelle et morphogenèse,  deuxième édition, Interéditions, Paris, 1977. 

Thom R., Esquisse d’une sémiophysique, Physique aristotélicienne et théorie des catastrophes, InterEditions,  Paris, 1988.

Thom R., Paraboles et catastrophes, 1980, Flammarion,, 1983.

Thom R., Prédire n’est pas expliquer, ESHEL, 1991.

Thom R., Apologie du logos, Hachette, 1990.

Zeeman E. C.,  Catastrophe machine. in Towards a Theoretical Biology, Edinburgh University Press, Edinburgh, 1972.

Wildgen W., Catastrophe theoretic semantics, John Benjamins Publishing Company, 1982.

Zeeman E. C., Selected papers, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachussetts, 1977.

Zeeman, Catastrophe Theory, Addison-Wesley, Reading, 1977, p. 366.

Virole B., Sciences cognitives et psychanalyse, Presses Universitaires de Nancy, 1992.

Virole B., La complexité de soi, Charielleditions, 2011.

 

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La complexité de soi Benoît Virole

 

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